理想気体の状態方程式(エントロピー ver.)

$pV=nRT$
をエントロピーを用いた形で導出します。

スタートはエントロピーを微分形式で表すところからです。

$dS=\dfrac{1}{T}(dU+pdV)$

内部エネルギーの変化 $dU$ は等積比熱 $c_{v}$ を用いて $dU=c_{v}dT$ とかけます。
気体の状態方程式から $dT=\dfrac{1}{R}(pdV+Vdp)$ となります。(簡単のために $n=1$ としました。)

これらをエントロピーの微分形式に代入すると、

$dS=c_{p}\dfrac{dV}{V}+c_{p}\dfrac{dp}{p}$
となります。ここで、Mayerの式
$c_{p}-c_{v}=R$
を用いました。
あとはこの式の両辺を積分すると、
$s-s_{0}=c_{p}\log V+c_{v}\log p$
であり、整理すると、
$e^{(s-s_{0})/c_{v}}=pV^{\gamma}$
になります。これがエントロピーを用いた理想気体の状態方程式です。ただし、
$\gamma=\dfrac{c_p}{c_v}$
です。

この式を用いると、ポアソンの式を簡単に導出することができます。理想気体の断熱過程においてはエントロピーは不変です。 $s=s_{0}$ となるので、