2019-01-10

論文投稿した。

先日、論文を投稿した。
そのときに、ORCIDというものを登録させられた。

今までの歴史の中で論文はたくさん書かれてきたけれど、その過程の中で同姓同名のひとがたくさんいるらしく、そういう人々を区別するためにも研究者ひとりひとりに紐付いたidを持っておきましょう、という流れが起きているらしい。ORCIDはそのためのidだそうだ。

そんなわけで、人生初の論文が完成した(まだacceptされたわけではない)のは嬉しい。今年中にもう一本書けると良いな、と思ったり思わなかったり。ただ、成果ばかり追い求めても虚しいので、学問の楽しさも忘れないように頑張りたい所存だ。

今年もよろしくおねがいします。

2018-05-18

久しぶりに書く

数学雑記

久しぶりにブログを書きます、よねすけです。大学院生になって思ったよりも忙しいことがわかったので、いろんなことを要領よくこなしていかないとだめだな〜と痛感する最近です。

さっきこんなことを知って面白かったのでブログにでも書いて見る。

はじめに床関数というものを導入します。床関数は与えられた実数に対してそれ以下の最大の整数を返す関数です。例えば

$\displaystyle \left\lfloor\pi\right\rfloor=3$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{2}\right\rfloor=1$
$\displaystyle \left\lfloor -1.4\right\rfloor=-2$

となります。このとき、次のような面白いこと知られているらしいです。

$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{44}\right\rfloor=6$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{4444}\right\rfloor=66$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{444444}\right\rfloor=666$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{44444444}\right\rfloor=6666$
...

こんな感じでどんどん続いていくらしいです。本当にそうなっているのか、証明してみましょう。

証明
一般に示すべきことは、
$\displaystyle a_{n}=\underbrace{44\cdots 44}_{2n個},\ b_n=\underbrace{6\cdots 6}_{n個}$ とした時に

$\displaystyle\left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor=b_n$ です。床関数の定義から、 $\displaystyle b_n\leq \sqrt{a_n}{<}b_n+1$ が分かれば良いです。しかも各項は正なので2乗すると $\displaystyle b_n^2\leq a_n{<}\left(b_n+1\right)^2$ を示せば良いことがわかります。なので各項を計算して上の不等式が本当に正しいかを確かめましょう。 $a_n,b_n$ はそれぞれ式変形すると

$\displaystyle a_n=\underbrace{44\cdots 44}_{2n個}=4\left(10^{2n-1}+\cdots+1\right)=\frac{4}{9}\left(10^{2n}-1\right)$
$\displaystyle b_n=\underbrace{6\cdots 6}_{n個}=6\left(10^{n-1}+\cdots+1\right)=\frac{2}{3}\left(10^{n}-1\right)$

となります。このとき、

$\displaystyle b_n-a_n^2=\frac{4}{9}\left(10^{2n}-1\right)-\frac{4}{9}\left(10^{n}-1\right)^2=\frac{8}{9}\left(10^{n}-1\right){>}0$
$\displaystyle \left(a_{n}+1\right)^2-b_n=\left(\frac{4}{9}10^{2n}+\frac{4}{9}10^{n}+\frac{1}{9}\right)-\frac{4}{9}\left(10^{2n}-1\right)=\frac{4}{9}10^{n}+\frac{5}{9}{>}0$

がわかるので、上の不等式は常に成り立つことがわかります。よって証明されました。

まあ、こんな感じで証明はできるけど、できるだけ、という感じが否めないですね。。。この式が成り立つことの背後にはなにかすごい法則があったりするんですかね。。。何か知ってる人がいらっしゃればぜひ教えてください。

それでは。

2017-07-22

フーリエ級数の一様収束性

数学フーリエ級数

こんにちは、よねすけです。

院試勉強してると色々気づきがあって面白いです。大半は面白くないですが。

周期的な可積分関数のフーリエ級数がどのようなときに元の関数に収束するかについては色々な議論がなされています。例えば周期的連続関数でフーリエ級数が絶対収束する関数についてはフーリエ級数はもとの関数に一様収束することが知られています。一方で連続関数でもそのフーリエ級数が発散する場合もあり、非常に複雑な世界となっています。これだけでは連続関数はフーリエ級数を扱う上ではあまり良い性質を持っていないように思えますが、ここで収束の意味を拡張することによって連続関数を常に一様収束させることができるようになるのです！！！前置きが長くなりましたが今回はこの話について書こうと思います。

はじめにフーリエ級数の部分和を定義します。周期的な可積分関数 $f(t)$ についてその複素フーリエ係数を $\hat{f}_n$ と書きます。すなわち、

$\displaystyle\begin{eqnarray} \hat{f}_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt \end{eqnarray}$ この時、フーリエ部分和 $S_N(t)$ を次で定義します。 $\displaystyle\begin{eqnarray} S_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}_{n}e^{int} \end{eqnarray}$ 大事なことはこの部分和が畳み込み積分の形でかけることです。畳み込み積分とは可積分な周期関数 $f,g$ について畳み込み積分 $f*g$ は $\displaystyle\left(f*g\right)(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)g(t-s)ds$ です。これを用いて式変形を行うと、 $\displaystyle\begin{eqnarray} S_N(t)=&\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}_{n}e^{int}\\ =&\sum_{n=-N}^{N}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)e^{-ins}ds\right)e^{int}\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)\left(\sum_{n=-N}^{N}e^{in(t-s)}\right)ds\\ =&\left(f*D_N\right)(t) \end{eqnarray}$ これによりフーリエ部分和を畳み込み積分で表すことが出来ました。ここで登場した $D_N$ をディリクレ核と呼びます。このとき、一般に $N\to\infty$ について $S_N$ は $f$ には一様収束しません。しかしチェザロ総和の意味では一様収束します。すなわち $\displaystyle \sigma_N(t):=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}S_n(t)=\frac{1}{N}\left(f*D_0(t)+\cdots+f*D_{N-1}(t)\right)=f*\left(\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}D_n\right)(t)$ と書いた時に、 $\sigma_N$ が $f$ に一様収束するということです。ここで $\displaystyle F_N(t):=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}D_n(t)$ をフェイエール核と呼び、これはディリクレ核のチェザロ和になっています。一所懸命計算すると、 $\displaystyle F_N(t)=\frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2$

実はこのフェイエール核は良い核(good kernel)となっています。周期的な関数の列 $\{K_n\}_{n=1}^{\infty}$ が良い核というのは、

$\displaystyle {}^{\forall}n\in\mathbb{N},\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}K_n(t)dt=1$
$\displaystyle {}^{\exists}M>0,\ 、s.t.,{}^{\forall}n\in\mathbb{N},\ \int_{-\pi}^{\pi}|K_n(t)|dt{<}M$
$\displaystyle {}^{\forall}\delta >0,\lim_{n\to\infty}\int_{\delta\leq|t|\leq\pi}|K_n(t)|dt=0$

を満たすものようなことを言います。フェイエール核が良い核であることは実際に確かめられます。良い核については次の定理が知られています。この意味において「良い」という名前がついています。

${K_n}$ を良い核の列とし、 $f$ を周期的可積分関数とします。 $f$ が $t_0$ で連続ならば、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(f*K_n)(t_0)=f(t_0)$ である。特に $f$ が連続ならこれは一様収束である。

この定理より、連続関数 $f$ については $\sigma_N=f*F_N\rightrightarrows f$ がわかるのです。よって連続関数はチェザロ総和の意味では常に一様収束するのです。

それでは。

2017-07-16

Ker(f)

数学

こんにちは,よねすけです.

院試勉強まじでだるいです.落ちたくないので頑張ります.

線形代数の復習をしてて何となく群論に似ているところがあるなあと思ったので書いときます.証明は書きません.

$K$ 上のベクトル空間 $V,V'$ について線形写像 $f:V\to V'$ を考えます.このとき, $\ker f=\{x\in V|f(x)=0_{V'}\}$ は $V$ の線形部分空間になります.

群 $G,G'$ とその準同型写像 $f:G\to G'$ を考えます.このとき, $\ker f=\{x\in G|f(x)=e_{G'}\}$ は $G$ の(正規)部分群になります.

核に関するこのような綺麗な関係性は何か一般的に言われていることがあるんですかね.圏論とか勉強すればこういうことについてなにか言えるのかも知れないです.今回は短いですがここまでです.

それでは.

2017-04-05

メルカトル級数とライプニッツ級数

数学積分

こんにちは、よねすけです。

TOEICの点数が返ってきました。なななんと！！！945点！！！とても嬉しい点数でした！！！ちなみに『なななんと』は『ララランド』を意識しました。

メルカトル級数やライプニッツ級数を導出する方法はいろいろと知られていますが、今回は高木貞治の『解析概論』に載っていたある公式から導出することが出来たので紹介したいと思います。

定本解析概論

作者: 高木貞治
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$a{>}0,b{>}0$ とすれば、

$\displaystyle\int_0^1\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}-\frac{1}{a+3b}+\cdots$

はじめにこの証明に取り掛かろう（章末問題に載っていて証明が載っていない！！）としたんですが若干厄介でした。上式の左辺を次のように変形します。

$\displaystyle\int_0^1\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx=\lim_{c\to 1}\int_0^c\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx$ ここで $c{<1}$ とします。
このように書くのには訳があって、被積分関数の分母部分をべき展開する際に収束半径が問題になってくるからです。いま $0\le x\le c{<}1$ の区間では $\displaystyle\frac{1}{1+x^b}=1-x^b+x^{2b}-x^{3b}+\cdots$ とでき、これはこの区間で一様収束です。これを用いると、 $\displaystyle\begin{align} \int_0^c\frac{x^{a-1}}{1+x^b}=&\int_0^c\left(x^{a-1}-x^{a+b-1}+x^{a+2b-1}-x^{a+3b-1}+\cdots\right)dx\\ =&\left[\frac{x^a}{a}-\frac{x^{a+b}}{a+b}+\frac{x^{a+2b}}{a+2b}-\frac{x^{a+3b}}{a+3b}+\cdots\right]_0^c\\ =&\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{a+kb}c^{a+kb} \end{align}$ がわかります。一様収束性から項別積分できることを利用しました。これより $\displaystyle\begin{align} \int_0^1\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx=&\lim_{c\to 1}\int_0^c\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx\\ =&\lim_{c\to 1}\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{a+kb}c^{a+kb}\right)\\ \underbrace{=}_{極限の交換}&\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{c\to 1}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{a+kb}c^{a+kb}\right)\\ =&\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{a+kb}\\ =&\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}-\frac{1}{a+3b}+\cdots \end{align}$ となり、示されました！！！
としたいところなんですが、途中で出てきた極限の交換については言及しておかなければなりません。ここの極限操作を交換できることはAbelの定理と同様の証明を行うことで示されます。なのでこれは収束が確かめられるので極限の交換は正当化されます。これよりはじめの式が示されました。 $\displaystyle\int_0^1\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}-\frac{1}{a+3b}+\cdots$ この式を用いてメルカトル級数、ライプニッツ級数を証明しましょう。

$a=1,b=1$ の場合、左辺は

$\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\log 2$ であり、右辺は $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ なのでこれよりメルカトル級数 $\displaystyle\log 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ が得られます。

$a=1,b=2$ の場合、左辺は

$\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{4}$ であり、右辺は $\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ なのでこれよりライプニッツ級数 $\displaystyle\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ が得られます。

このようにしてメルカトル級数、ライプニッツ級数が得られました。今回はAbelの定理を用いたのでAbelの定理の紹介もいつかしたいと思います。また、メルカトル級数、ライプニッツ級数の別の証明も紹介したいと思います。

それでは。

2017-04-02

二重級数

数学受験

先日、塾講をしているときに出てきた問題が面白かったのでここに取り上げることにしました。

次の無限級数の和を求めよ。
$\displaystyle\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}\right)+\left(\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{3^7}\right)+\cdots$

まずは普通に解いてみましょう。

$\displaystyle\underbrace{\frac{1}{3}}_{a_1}+\underbrace{\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}\right)}_{a_2}+\underbrace{\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}\right)}_{a_3}+\underbrace{\left(\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{3^7}\right)}_{a_4}+\cdots$
とおいてみると、 $a_n$ は次のようになります。
$\displaystyle\begin{align} a_n&=\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\cdots+\frac{1}{3^{2n-1}}\\ &=\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{2n-1}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}}\right)\\ &=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2n}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\frac{1}{3}}\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{9^n}\right) \end{align}$
これより上の無限級数の部分和 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ を求めると、
$\displaystyle\begin{align} S_n&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3^k}-\frac{1}{9^k}\right)\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{1}{9}\frac{1-\frac{1}{9^n}}{1-\frac{1}{9}}\right) \end{align}$
よって無限級数の和は $S_n$ の $n\to\infty$ であるから、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-\frac{1}{9}\frac{1}{1-\frac{1}{9}}\right)=\frac{9}{16}$

高校生はこれで解けば満点がもらえると思います。でも大学生らしい方法でも解きたいので以下のような方法も考えました。

最初にこの問題を見たとき、各括弧内の指数部分の取り方に作為的なものを感じました。ぼくはこれを次のような表から得られたものではないか？？と考えました。

$\displaystyle\frac{1}{3}$	$\displaystyle\frac{1}{3^2}$	$\displaystyle\frac{1}{3^3}$	$\displaystyle\frac{1}{3^4}$	$\displaystyle\frac{1}{3^5}$	$\cdots$
$\displaystyle\frac{1}{3^3}$	$\displaystyle\frac{1}{3^4}$	$\displaystyle\frac{1}{3^5}$	$\displaystyle\frac{1}{3^6}$	$\displaystyle\frac{1}{3^7}$	$\cdots$
$\displaystyle\frac{1}{3^5}$	$\displaystyle\frac{1}{3^6}$	$\displaystyle\frac{1}{3^7}$	$\displaystyle\frac{1}{3^8}$	$\displaystyle\frac{1}{3^9}$	$\cdots$
$\displaystyle\frac{1}{3^7}$	$\displaystyle\frac{1}{3^8}$	$\displaystyle\frac{1}{3^9}$	$\displaystyle\frac{1}{3^{10}}$	$\displaystyle\frac{1}{3^{11}}$	$\cdots$
$\displaystyle\frac{1}{3^9}$	$\displaystyle\frac{1}{3^{10}}$	$\displaystyle\frac{1}{3^{11}}$	$\displaystyle\frac{1}{3^{12}}$	$\displaystyle\frac{1}{3^{13}}$	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

この表を見れば上に導入した $a_n$ は表のn行1列から1行n列に向かう直線上の和に対応することが分かります！！！！！このような和の取り方を二重級数の対角線式の番号の付け方と呼びます。このことは毎度おなじみの高木貞治の解析概論に載っています。
表の各要素の値は正であるからこの無限級数は収束するならば絶対収束する、すなわち和の順序によらないことが分かります。なので和の順序を交換するためにはこの無限級数が収束することをはじめに示さなければなりません。が、まあ入試問題に出ているなら収束やろ？？と思ってしまってこの級数が絶対収束するものとして和の順番を変えてしまいましょう。*1
順番の変え方としてはいろいろあると思いますが、ここでは各行を足しあげてみましょう。するとこの無限級数は

$\displaystyle\begin{align} &\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{3^5}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{3^7}+\cdots\right)+\cdots\\ =&\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right)+\frac{1}{3^3}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right)+\frac{1}{3^5}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right)+\cdots\\ =&\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^5}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right)\\ =&\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\\ =&\frac{9}{16} \end{align}$
となり上と同じ値が得られました！！！各列を足しあわせても同じ値が得られることはすぐに分かります。

高校生の解く問題を大学数学の観点からちょっとテクニカルに解いてみました。こういうのも面白いですね。

それでは。

*1:とは言ってもきちんと示す必要があります。 $a_n{<}n/3^n$ より $\lim_{n\to\infty}S_n<3/4$ がわかるので収束することが示されます。

2017-03-07

古典電子半径

物理電磁気学

こんにちは、よねすけです。

理論電磁気学

作者: 砂川重信
出版社/メーカー: 紀伊國屋書店
発売日: 1999/09
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この本を久しぶりに眺めていたら古典電子半径の話が載っていて初見だったのでまとめることにしました。
$N$ 体の電子による電磁場の密度エネルギー $w({\bf x},t)$ は $\displaystyle w({\bf x},t)=\frac{1}{2}\left({\bf E\cdot D}+{\bf B\cdot H}\right)$ で表されます。また電磁場の全エネルギーはこの密度エネルギーの空間積分で表され、 $\displaystyle W(t)=\int_V d^3xw({\bf x},t)$ となります。
このとき、静止した電子が半径 $a$ 、電荷が $-e$ の古典的小帯電体球とみなしてみましょう。このとき電場は電子からの距離 $r$ を用いて、 $\displaystyle E(r)=\frac{-1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e}{r^2}$ と表されます。いま静電場系を考えるので電磁場のエネルギーの磁場による寄与は無視できます。このとき電磁場の全エネルギーは、 $\displaystyle\begin{align} W&=\frac{1}{2}\int_Vd^3x{\bf E\cdot D}\\ &=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_Vd^3x({\bf E}({\bf x},t))^2\\ &=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{a}^{\infty}drE(r)^24\pi r^2\\ &=\frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 4\pi\int_{a}^{\infty}\frac{dr}{r^2}\\ &=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a} \end{align}$ となります。
相対論の結果を援用するならば静止質量 $m$ が持つエネルギーは $mc^2$ になることが分かっています。これが電磁場の全エネルギーに一致するものと考えれば、 $\displaystyle\begin{align} &mc^2=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a}\\ \Leftrightarrow &a=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 mc^2} \end{align}$ このようにして電子の半径が分かります。このときの係数の $1/2$ を無視したものを古典電子半径と呼び、 $a_e\simeq 2.8\times 10^{-13}[cm]$ です。

電子が点電荷であるものとすれば、 $a\to 0$ としなければなりません。そうすると電磁場の全エネルギー $W$ は無限大に発散してしまいます。これは古典的な電子のモデルがうまくいっていなことを意味しています。また量子力学においても電子は点電荷であるとみなされる(らしい)のでこの無限大の自己エネルギーの困難は量子力学でも引き継がれることになるそうです。

量子論における電子の議論は僕はあまり詳しくないので理論電磁気学のことをほぼそのまま書くままになってしまいました。この分野についても勉強していきたいと思います。

それでは。

yonesuke’s diary

日々精進

論文投稿した。

久しぶりに書く

フーリエ級数の一様収束性

Ker(f)

メルカトル級数とライプニッツ級数

二重級数

古典電子半径